10 sınıf pascal üçgeni konu anlatımı

10Sınıf Matematik SAYMA VE OLASILIK BİNOM AÇILIMI – II OGM Materyal Konu Özeti. Bu konu özeti 10.Sınıf Matematik için Ortaöğretim Genel Müdürlüğü yani OGM Materyal tarafından 10.Sınıf öğrencilerinin. 10.Sınıf Matematik Konu Özeti (OGM Materyal) 10Sınıf Matematik Dersi Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu Testi Soru No : 32731, Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu, 10.Sınıf Matematik Dersi Testi Çöz. İLKOKUL. 1. SINIF 2. Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı Üslü İfadeler Konu Anlatım 10Sınıf Matematik Dersi Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu Testi Soru No : 32729, Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu, 10.Sınıf Matematik Dersi Testi Çöz. İLKOKUL. 1. SINIF 2. Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı Üslü İfadeler Konu Anlatım 10Sınıf Matematik Dersi Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu Testi Soru No : 32717, Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konusu, 10.Sınıf Matematik Dersi Testi Çöz. İLKOKUL. 1. SINIF 2. Kareköklü İfadeler Konu Anlatımı Üslü İfadeler Konu Anlatım Pascalüçgeninin ilk altı satırı. Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal 'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Site De Rencontre Totalement Gratuit Et Sérieux. PASCAL ÜÇGENİFransız matematikçi Blaise Pascalın adıyla anılan Pascal Paskal üçgeninin kuralı şu şekildedir► İlk satırda tek eleman vardır ve 1’dir.► Alt satırlara inildikçe satırdaki eleman sayısı 1 artar.► Her satırının ilk ve son elemanı 1’dir.► Satırdaki diğer elemanlar bir üst satırdaki kendine komşu olan iki sayının kurala göre devam eden Paskal üçgeninin aşağıda ilk 6 satırı AÇILIMIAşağıdaki özdeşlikleri ya biliyoruz ya da çarpma işlemi yaparak kolayca bulabiliriz.x + y1 = x + yx + y2 = x + y.x + y = x2 + 2xy + y2x + y3 = x + y.x + y.x + y = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3Ancak kuvvet büyüdükçe özdeşliği çarpma işlemi yaparak bulmak zorlaşır. Bu durumda kombinasyon yardımıyla binom açılımını kullanarak özdeşlikleri ve y sıfırdan farklı ve n bir doğal sayı olmak x + yn ifadesinin x ve y’nin kuvvetleri cinsinden açılımına binom açılımı denir.x + yn = \\binom{n}{0}\ xn−0 y0 + \\binom{n}{1}\ xn−1 y1 + \\binom{n}{2}\ xn−2 y2 + … + \\binom{n}{n}\ xn−n ynBinom açılımında terimleri oluştururken katsayıları kombinasyon yardımıyla hesaplarız. x’in azalan kuvvetlerine göre açılım yaparken x’in üssünü n’den başlayıp her terimde bir azaltırız, y’nin üssünü 0’dan başlayıp her terimde bir arttırırız. Böylece son terimde x’in üssü 0, y’nin üssü n olmuş x + y5 ifadesinin özdeşini binom formülünü kullanarak x’in azalan kuvvetlerine göre katsayılarını \\binom{5}{0}\dan \\binom{5}{5}\e doğru sırayla yazarız. x’in kuvvetlerini 5’ten 0’a doğru, y’nin kuvvetlerini 0’dan 5’e doğru sırayla terimlere yazarız.x + y5 = \\binom{5}{0}\ x5 y0 + \\binom{5}{1}\ x4 y1 + \\binom{5}{2}\ x3 y2 + \\binom{5}{3}\ x2 y3 + \\binom{5}{4}\ x1 y4 + \\binom{5}{5}\ x0 y5Daha sonra katsayılardaki kombinasyon değerlerini hesaplayıp yerlerine yazarız.x + y5 = 1 x5 y0 + 5 x4 y1 + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x1 y4 + 1 x0 y5Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y5 = x5 + 5 x4 y + 10 x3 y2 + 10 x2 y3 + 5 x y4 + y5PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI İLİŞKİSİPascal üçgenindeki sayılar kombinasyon hesabı ile de elde edilebilir. Bu kombinasyon değerleri aynı zamanda x + yn ifadesinin açılımında katsayılara karşılık gelir. Bu ilişki sayesinde açılımdaki katsayılar kombinasyon hesabı yerine Pascal üçgeninden x + y4 ifadesinin özdeşini Pascal üçgeninden faydalanarak x’in artan kuvvetlerine göre katsayılarının 1 4 6 4 1 olduğunu Pascal üçgeninin 5. satırından görebiliriz. x’in kuvvetlerini 0’dan 4’e doğru, y’nin kuvvetlerini 4’ten 0’a doğru sırayla terimlere yazarız.x + y4 = 1 x0 y4 + 4 x1 y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y1 + 1 x4 y0Katsayılardaki 1’leri, x0 ve y0 ifadelerini 1’e eşit oldukları için yazmamıza gerek yoktur.x + y4 = y4 + 4 x y3 + 6 x2 y2 + 4 x3 y + x4Pascal ÖzdeşliğiPascal üçgeninde bir satırdaki iki elemanın toplamının alt-ortalarındaki elemana eşit olduğunu biliyoruz. Bu özelliği yukarıdaki görselde kombinasyonla oluşturulmuş üçgende de Pascal üçgeninde 4 ve 6’nın toplamı alt-ortalarındaki 10’a eşittir. Bu sayıların yerlerine kombinasyon üçgeninde bakacak olursak \\binom{4}{1}\ + \\binom{4}{2}\ = \\binom{5}{2}\ eşitliğini görürüz. Bu eşitliği genellersek aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.\\binom{n}{r}\ + \\binom{n}{r+1}\ = \\binom{n+1}{r+1}\ eşitliğine Pascal özdeşliği \\binom{12}{5}\ + \\binom{12}{6}\ ifadesinin \\binom{13}{6}\ya eşit olduğunu pascal özdeşliği sayesinde AÇILIMININ ÖZELLİKLERİTerim sayısıx+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1 2x + 3y10 ifadesinin açılımında 10+1 = 11 terim üsler toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n 3x − y8 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 7. terimi ifadenin açılımdaki 7. terimi 252x2y6 dir. Burdaki x’in ve y’nin üslerini toplarsak 2 + 6 = 8 olduğunu r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr 2x + 4y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini + 1 = 4 olduğu için r = 3’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 3, x yerine 2x, y yerine de 4y yazarız.\\binom{n}{r}\ xn−r yr = \\binom{5}{3}\ 2x5−3 4y3 = 10 . 4x2 . 64y3 = 2560x2y3Sondan r+1 inci terimx+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan r + 1inci terim \\binom{n}{r}\ xr yn−r x − 2y7 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki sondan 5. terimini + 1 = 5 olduğu için r = 4’tür. Aşağıdaki ifadede r yerine 4, x yerine x, y yerine de −2y yazarız.\\binom{n}{r}\ xr yn−r = \\binom{7}{4}\ x4 −2y7−4 = 35 . x4 . −8y3 = −280x4y3Ortanca terimn doğal sayı olmak üzere x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn 2x − 110 ifadesinin açılımında ortada yer alan terimi üssü 10 olduğundan n = 5 alırız. Aşağıdaki ifadede n yerine 5, x yerine 2x, y yerine −1 yazarız.\\binom{2n}{n}\ xn yn = \\binom{10}{5}\ 2x5 −15 = 252 . 32x5 . −1 = −8064x5Katsayılar toplamıx+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı 3x − 5y4 ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır toplamını bulmak için x ve y yerine 1 toplamı = − = 3 − 54 = −24 = 16Sabit terimx+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı 3x − 15 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır terimi bulmak için x yerine 0 terim = − 15 = 0 − 15 = −15 = −1ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULARÖRNEK 1 x − y5 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.x − y5 = \\binom{5}{0}\ x5 −y0 + \\binom{5}{1}\ x4 −y1 + \\binom{5}{2}\ x3 −y2 + \\binom{5}{3}\ x2 −y3 + \\binom{5}{4}\ x1 −y4 + \\binom{5}{5}\ x0 −y5x − y5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3 y2 − 10 x2 y3 + 5 x y4 − y5ÖRNEK 2 3x + 2y3 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımını yazalım.3x + 2y3 = \\binom{3}{0}\ 3x3 2y0 + \\binom{3}{1}\ 3x2 2y1 + \\binom{3}{2}\ 3x1 2y2 + \\binom{3}{3}\ 3x0 2y33x + 2y3 = 27 x3 + 54 x2 y + 36 x y2 + 8y3ÖRNEK 3 x + 73k+1 ifadesinin açılımında 11 terim bulunduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki terim sayısı n+1’dir. Bu yüzden3k + 2 = 113k = 9k = 3 4 2x + yk ifadesinin açılımındaki terimlerden biri olduğuna göre k kaçtır bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki her bir terimdeki x ve y değişkenlerinin üsleri toplamı n’dir. Bu yüzdenk = 2 + 4k = 6 5 −2x + 15 ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan 4. terimini bulalım.x+yn ifadesinin x’in azalan kuvvetlerine göre açılımındaki baştan r + 1’inci terim \\binom{n}{r}\ xn−r yr dir. Bu yüzden r + 1 = 4 eşitliğinden r = 3 elde ederiz.\\binom{5}{3}\ −2x5−3 1310 . 4 . x2 . 1 = 40x2ÖRNEK 6 −x − 26 ifadesinin açılımının ortadaki terimini bulalım.x+y2n ifadesinin açılımındaki ortadaki terim \\binom{2n}{n}\ xn yn dir. Bu yüzden n yerine 3, x yerine −x, y yerine −2 yazarız.\\binom{6}{3}\ −x3 −23 = 20 . −x3 . −8 = 160x3ÖRNEK 7 2x − 3y5 ifadesinin katsayılar toplamını bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 sayısı yazılır. Bu yüzden katsayılar toplamını − = −15 = −1 8 3x − 26 ifadesinin sabit terimini bulalım.x+yn ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için değişkenler yerine 0 sayısı yazılır. Bu yüzden sabit terimi − 26 = −26 = 64 buluruz. 10. Sınıf Matematik Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Konu Anlatımı Pdf ders notlarının olacağı bu yazımızda çözümlü örneklerle birlikte konuyu en iyi şekilde anlatmaya çalıştık. Konu anlatımı sonrası Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı Çözümlü Sorular yazımızı da inceleyebilirsiniz. Pascal Üçgeni x,y ∈ R – {0}, olmak üzere n ∈ N olmak üzere x + y ifadesinin kuvvetleri alınırsa açılımları elde edilir. Bu açılımlardaki terimlerin katsayıları ortalanarak yazılırsa şeklindeki sayılardan oluşan yukarıdaki üçgen elde edilir. Bu üçgene Pascal üçgeni adı verilir. Aşağıdaki görselde de detaylı açılımını görebilirsiniz. Pascal üçgeninin her bir satırındaki sayıların toplamı, eleman sayısı satır numarasının 1 eksiği olan kümenin alt küme sayısını verir. 1. satır A = { } , kümesi için sA = 0 ve alt küme sayısı 20 = 1 2. satır A = {a}, kümesi için sA = 1 ve alt küme sayısı 21 = 2 3. satır A = {a,b}, kümesi için sA = 2 ve alt küme sayısı 22 = 4 olur. Pascal üçgeninin n + 1. satırındaki sayıların her biri eleman sayısı n olan kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı, …, n elemanlı alt küme sayısını verir. Örneğin; 4. satır A = {a,b, c}, kümesi için sA = 3 olur. Pascal özdeşliği Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırının r. sırasındaki sayı ile r + 1. sırasındaki sayı toplanırsa Pascal üçgeninin n + 1. satırının r + 1. sırasındaki sayı elde edilir. Başka bir ifadeyle Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayının toplamı, takip eden satırda bu iki sayının ortasındaki sayıya eşittir. Örnek 4 elemanlı bir kümenin alt küme sayılarını veren Pascal üçgeninin ilgili satırını yazarak satırda bulunan sayıların neyi ifade ettiğini belirtiniz. Çözüm n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı bilgileri Pascal üçgeninin n + 1. satırında bulunur. Bu durumda 4 elemanlı kümenin alt küme bilgileri Pascal üçgeninin 5. satırındadır. Binom Açılımı Binom Teoremi x, y ∈ R;n,r ∈ N;r ≤ n olmak üzere; Binom Teoreminn 6 Özelliği Arkadaşlar şimdide bi kaç tane çözümlü örnek soru yaparak konuyu daha net anlamaya çalışlaım. Örnek x + 2y4 ifadesinin açılımını bulunuz. Çözüm x + 2y4 ifadesinin açılımı; Örnek 2x – 33 ifadesinin açılımını bulunuz. Çözüm 2x – 33 ifadesinin açılımı; Örnek 3x – 2y12 ifadesinin açılımındaki terim sayısını bulunuz. Çözüm 3x – 2y12 ifadesinin açılımında n = 12 olduğundan terim sayısı n + 1 = 12 + 1 = 13 bulunur. Örnek -2x + 5y + 47 ifadesinin açılımındaki a Katsayılar toplamını b Sabit terimi bulunuz. Cevap a x = y = 1 alınırsa -2x + 5y + 47 açılımındaki katsayılar toplamı + + 47 = -2 + 5 + 47 = 77 bulunur. b x = y = 0 alınırsa -2x + 5y + 47 açılımındaki sabit terim + + 47 = 0 + 0 + 47 = 47 bulunur. Yazı dolaşımı Kategoriler 10. Sınıf Matematik, Sayma ve OlasılıkPascal ÜçgeniPascal Üçgeni olarak isimlendirilen konu ve kavramlar Hint, Çin, İslam medeniyetlerindeki matematikçi ve düşünürler tarafından Pascal’dan çok önceleri ele alınmıştır. Pascal Üçgeni farklı medeniyetlerce biliniyordu. Hint medeniyetinde yaklaşık 5000 yıl önce dünyanın merkezinde olduğuna inanılan “Meru Dağı Merdiveni” adıyla, Çin medeniyetinde 11 . yüzyılda Çin’li matematikçi Jia Xian 1010-1070 tarafından,13. yüzyılda “Yang Hui Üçgeni” 1238 -1298 adıyla, İslam medeniyetinde “Ömer Hayyam Üçgeni” adıyla, Batı medeniyetinde ise günümüzde kullandığımız “Pascal Üçgeni” adıyla bilinmektedir. Bu şekilde matematiksel bilginin oluşumunda farklı kültür ve bilim insanlarının çok büyük rolü Açılımın doğal sayı olmak üzere, x ± y2, x ± y3, x ± yy', x ± y5, x ± yn şeklinde iki terimlilerin toplamının ya da farkının kuvvetlerini bulurken, terimlerin katsayılarını bulmak için kullanılacak yöntemlerden biri de Pascal üçgenidir. Aşağıda üçgen biçimindeki sayısal tablo Pascal Üçgeni olarak alt satırda ortada yer alan sayı bir üst satırdaki yan yana iki sayının toplamına eşittir. Pascal üçgeninin herhangi bir n. satırında, r. sırada bulunan sayı ile r + 1. sırada bulunan sayının toplamı n + 1. sıradaki r + 1. sayıdır. Bu bağıntıya Pascal özdeşliği denir. Örnek Pascal üçgenin bazı satırlarının bir kısmı aşağıda verilmiştir. Buna göre, a + b + c + d nin değerini bulalım. Çözüm Özdeşliğe göre, a + b = 21 ve c + d = 35 tir. Buna güre, a + b + c+ d = 21 + 35 = 56 terim, değişkenlerden bağımsız terimdir. Bir açılımda sabit terimi bulmak için eğer tanımlı ise değişkenler yerine 0 yazılır. Bir açılımda katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 x -13 = x3 - 3x2 + 3x - 1 açılımında sabit terim -1 dir. x -13 = x3 - 3x2 + 3x -1 açılımında katsayılar toplamı, 1-3+3-10 dır. Örnek 3x + 27 ifadesinin açılımında, x = 0 İçin 3x+27 = 3+0+27 = 27 ise 128 olur. Buna göre, bu açılımda sabit terim 128 dir. x=1 için 3x+27 = 3+1+27 = 57 olur. Buna göre, bu açılımda katsayılar toplamı 57 dir. Temel Yeterlilik Sınavı TYT13 Haziran 2020 Cumartesi

10 sınıf pascal üçgeni konu anlatımı